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al" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 }0 
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uthor" 0 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "
" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }
0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 66 "GRAPHICAL APPROACH TO THE
 SECOND FOUNDALMENTAL THEOREM OF CALCULUS" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT 
-1 12 "Wei-Chi Yang" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Department of Ma
thematics and Statistics" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Radford Uni
versity, Radford, VA 24142" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 15 "wyang@run
et.edu" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 27 "http://www.runet.edu/~wyang" 
}}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT 259 9 "Objective" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "In this note we sh
all use graphs of Riemann sums to provide an intuitive" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 144 "approach of understanding the Second Fundamental Th
eorem of Calculus. We recall that the Second Fundamental Theorem of Ca
lculus may be stated as" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "follows:" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 7 "Theorem" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "L
et  f  be continuous on an open interval  I, and let  " }{TEXT 261 1 "
a" }{TEXT -1 18 "  be any point in " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "I.
 If F  is defined by " }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 262 "
" 0 "" {TEXT -1 5 "F(x)=" }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x)" "6#-%$intG
6$-%\"fG6#%\"tG/F);%\"aG%\"xG" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "then F'(x) = f(x). For example, " }
{XPPEDIT 18 0 "diff(int(cos(t),t=a..x),x)" "6#-%%diffG6$-%$intG6$-%$co
sG6#%\"tG/F,;%\"aG%\"xGF0" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "cos(x) " 
"6#-%$cosG6#%\"xG" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "at each point  " }
{TEXT 262 1 "x" }{TEXT -1 20 "  in the interval I." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Note that if there is a c
losed form for " }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x)" "6#-%$intG6$-%\"fG6
#%\"tG/F);%\"aG%\"xG" }{TEXT -1 20 ", then it is easy to" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 32 "check if F'(x) = f(x). However, " }{TEXT 257 33 "m
ost of the time, we don't have a" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 16 "clo
sed form for " }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x) " "6#-%$intG6$-%\"fG6#
%\"tG/F);%\"aG%\"xG" }{TEXT 263 2 ". " }{TEXT -1 53 "We hope the appro
ach we take in this note can fill in" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 9 "
this gap." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
129 "First, we define the function  f. (note that we pick a simple fun
ction below, users can pick any complex functions on their own.)" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "f:=proc(x) cos(x) end;" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fGR6#%\"xG6\"F(F(-%$cosG6#9$F(F(6
\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "We shall use a Riemann sum \+
to approximate " }{XPPEDIT 18 0 "int(f(t),t=a..x" "6#-%$intG6$-%\"fG6#
%\"tG/F);%\"aG%\"xG" }{TEXT -1 12 ". We use the" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 38 "midpoint rule to define the following " }{TEXT 260 12 "Ri
emann Sum," }{TEXT -1 9 " M, of f." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "M:=proc(a,x,n) ((x-a)/n) * sum(f(a+
(x-a)/(2*n) + i*(x-a)/n), i=0..n) end;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 
20 "6#>%\"MGR6%%\"aG%\"xG%\"nG6\"F*F**(,&9%\"\"\"9$!\"\"F.9&F0-%$sumG6
$-%\"fG6#,(F/F.*&F,F.F1F0#F.\"\"#*(%\"iGF.F,F.F1F0F./F=;\"\"!F1F.F*F*6
\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Next, we define the derivat
ive function, DM, of M(a,x,n) below:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 37 "DM:=proc(a,x,n) diff(M(a,x,n),x) end;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#DMGR6%%\"aG%\"xG%\"nG6\"F*F*-%%diffG6$-%\"MG6%9$9%9&
F2F*F*6\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "We now create the a
nimation to visualize that when n goes to infinity, we shall obtain DM
 tends to f(x)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plo
ts):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "for k from 1 by 1 t
o 30 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "P.k:= plot (\{cos(x),DM
(0,x,k)\}, x=-3..3, thickness=2):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 
"od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "plots[display]([seq
(P.k, k=1..30)], insequence=true);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 304 
304 304 {PLOTDATA 2 "6#-%(ANIMATEG6@7&-%'CURVESG6%7]q7$$!\"$\"\"!$\"1y
P#=X%eiF!#:7$$!1++]P&3Y$HF1$\"1_pT\\8zHDF17$$!1+++vq@pGF1$\"1#GnEIRnE#
F17$$!1+]78.K7GF1$\"1,?]jA*p,#F17$$!1++D^NUbFF1$\"1XBcQ1G^<F17$$!1+](=
>P9p#F1$\"1\"z7NwuvV\"F17$$!1++]K3XFEF1$\"1-N!4trF6\"F17$$!1+++I./jDF1
$\"1CQkYq2&z(!#;7$$!1++]F)H')\\#F1$\"1QMA#pXyW%FU7$$!1+](oXDXV#F1$\"1D
*yx)oF\\6FU7$$!1++D'3@/P#F1$!1Lc&fHX72#FU7$$!1++vG\"))4J#F1$!1[tCUtu\\
\\FU7$$!1++Dr^b^AF1$!1hv__#y<p(FU7$$!1++D'y:+>#F1$!1Z3&f!*=b.\"F17$$!1
++D,kZG@F1$!1OnO'3n4G\"F17$$!1++D\"GK[1#F1$!1.C+&)>%*4:F17$$!1++Dh\")=
,?F1$!1!3)>Ql/6<F17$$!1++DO\"3V(=F1$!1,L1X\"G0-#F17$$!1+]i&G_!4=F1$!1Q
.)REA\"H@F17$$!1+++NkzV<F1$!1nE7TU.-AF17$$!1+]iSx0:<F1$!1*)4%zy7FA#F17
$$!1++DY!>jo\"F1$!1U6-T?ROAF17$$!1+](=N!ed;F1$!1g0iR74VAF17$$!1++]d;%)
G;F1$!1Oh*4l[GC#F17$$!1+]P%p)['f\"F1$!1Dr#*37MMAF17$$!1++DJd8k:F1$!1H.
\"zX=s@#F17$$!1+]7oFyJ:F1$!1,GrG!>;>#F17$$!1+++0)H%*\\\"F1$!18:%*Q+rd@
F17$$!1+++!>eWV\"F1$!1]l!erF`1#F17$$!1+++vl[p8F1$!13PTkm9U>F17$$!1+++&
>iUC\"F1$!1L+)ftvmi\"F17$$!1+]7GVS(=\"F1$!1(30t#o)QX\"F17$$!1++DhkaI6F
1$!11g_/dil7F17$$!1+]7ep$H1\"F1$!1ZF(3P_[-\"F17$$!1+++]XF`**FU$!1ES*H[
#>'p(FU7$$!1+++vL`!Q*FU$!1(**\\x$3z_aFU7$$!1++++Az2))FU$!1V;vPVCjJFU7$
$!1++Dc!e:9)FU$!1lL*\\9]\"yZ!#<7$$!1++]7RKvuFU$\"1gmTL1'3>#FU7$$!1,+D1
Qf&)oFU$\"1!3]'y)Ga]%FU7$$!1-+++P'eH'FU$\"1Wfk%ykcu'FU7$$!1****\\7*3=+
&FU$\"1/)otoNp7\"F17$$!1)***\\PFcpPFU$\"1;uVNCQ)[\"F17$$!1)****\\7VQ[#
FU$\"1X9dDEos<F17$$!1)**\\P9(\\$*=FU$\"1RqJmu\"p'=F17$$!1)***\\i6:.8FU
$\"1hSNiZiO>F17$$!1()*\\i:sw%)*Ffw$\"19wjoStj>F17$$!1$***\\(oKQm'Ffw$
\"12Y?X&oL)>F17$$!1***\\(=K**zMFfw$\"1E+T$=ga*>F17$$!1b+++v`hH!#=$\"1p
2%*4r'***>F17$$\"1&**\\ilg4,$Ffw$\"13?%4<,m*>F17$$\"1&***\\i]2=jFfw$\"
1Ps=Hx/&)>F17$$\"1&**\\(o%*=D'*Ffw$\"1M#R2&*\\`'>F17$$\"1++](QIKH\"FU$
\"1i90Y9eP>F17$$\"1******\\4+p=FU$\"1fG(*\\WIq=F17$$\"1****\\7:xWCFU$
\"1Nvoullz<F17$$\"1,++vuY)o$FU$\"1xH[\\_I4:F17$$\"1)******4FL(\\FU$\"1
loA(4Qh8\"F17$$\"1)****\\d6.B'FU$\"1Q*RqS$*)))pFU7$$\"1***\\785%QoFU$
\"1pdRRAx(o%FU7$$\"1++](o3lW(FU$\"1-W4@rD0BFU7$$\"1***\\iX)p@\")FU$!1q
T81e7yRFfw7$$\"1*****\\A))oz)FU$!12#>VP%Q>JFU7$$\"1(***\\iid.%*FU$!1.<
2m.7WbFU7$$\"1+++Ik-,5F1$!1B[#)*3le\"zFU7$$\"1+++D-eI6F1$!1:z!pjTdE\"F
17$$\"1++v=_(zC\"F1$!1cI*R=otj\"F17$$\"1+++b*=jP\"F1$!1,9;sS[c>F17$$\"
1+](=o*pO9F1$!1640,*R!p?F17$$\"1++v3/3(\\\"F1$!1FJa+\"H\\:#F17$$\"1++]
P!Q'G:F1$!1;*))os%o)=#F17$$\"1++Dmc>g:F1$!1PjD(3^X@#F17$$\"1+++&H`<f\"
F1$!13mnI-PKAF17$$\"1++vB4JB;F1$!1f#fX\"*4?C#F17$$\"1+D1uU;a;F1$!1?nx$
*\\UVAF17$$\"1+]PCw,&o\"F1$!1&e*4\"3YoB#F17$$\"1+vou4(er\"F1$!1$op+\"R
AAAF17$$\"1+++DVsY<F1$!1W'4wZM&*>#F17$$\"1+](=_D8\"=F1$!1P')p&[Nf7#F17
$$\"1++v=n#f(=F1$!1P)=cl(Q<?F17$$\"1+++!)RO+?F1$!17u8\"*yX8<F17$$\"1++
D;:*R1#F1$!1@MN;cy7:F17$$\"1++]_!>w7#F1$!1$>*GRdA%G\"F17$$\"1+]i?(>2>#
F1$!1\\sO:\\eK5F17$$\"1++v)Q?QD#F1$!13y]>\"Q,f(FU7$$\"1+]P\\L!=J#F1$!1
')*R[p:6\"\\FU7$$\"1+++5jypBF1$!1BfqY*)f-@FU7$$\"1++DE8COCF1$\"1i*zh-]
nB\"FU7$$\"1++]Ujp-DF1$\"1k,>h]oeYFU7$$\"1++D,X8iDF1$\"1cT`p:*zu(FU7$$
\"1+++gEd@EF1$\"1YYVqja#3\"F17$$\"1+]PMh%\\o#F1$\"1NTs2*\\]S\"F17$$\"1
++v3'>$[FF1$\"1^(>8V]rr\"F17$$\"1+++5h(*3GF1$\"1s>0YOy,?F17$$\"1++D6Ej
pGF1$\"1\"pPqS'\\oAF17$$\"1+]i0j\"[$HF1$\"1!4EwT\"eIDF17$$\"\"$F.F/-%'
COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F.F.-%*THICKNESSG6#\"\"#-F(6%7W7$F,$!1aW+m\\#
***)*FU7$F8$!1=H8g`MJ'*FU7$FB$!1]fLBtej#*FU7$FL$!1O\\$z%3:2()FU7$FW$!1
K>2P&GK+)FU7$F[o$!1/e'z2Y4<(FU7$Feo$!12Gk'**GQH'FU7$F_p$!1/.t9?>#H&FU7
$Fip$!1yN<X$pA<%FU7$F^q$!1_)e=PL())HFU7$Fhq$!1p\\-UWQ@<FU7$F\\s$!1%4>B
7u7!eFfw7$F`t$\"1/[;zcfIrFfw7$Fjt$\"1&)*Q)R!G&**>FU7$F_u$\"1vRS1Bi2KFU
7$Fiu$\"1#zY.=b;E%FU7$Fcv$\"1$*z\"\\/#GUaFU7$F]w$\"1>AwcP]ljFU7$Fhw$\"
1nwvsloLtFU7$Fbx$\"1'3)Gr7r#3)FU7$Fgx$\"1O\"zkBe\\x)FU7$F\\y$\"1yK1DJ*
yH*FU7$Fay$\"1<guV)3Jp*FU7$Ffy$\"1'GCqRo7#)*FU7$F[z$\"1$*QgY*4_\"**FU7
$Fez$\"1=q?#)[!y(**FU7$F_[l$\"1L-^Yh&*****FU7$Fj[l$\"1)RaAgZ+)**FU7$Fd
\\l$\"10b%zB%\\;**FU7$Fi\\l$\"1w4v0'\\e#)*FU7$F^]l$\"1[YME,k-(*FU7$Fc]
l$\"13(4UfPuK*FU7$Fh]l$\"1CMob?e)y)FU7$F]^l$\"16Qa8^8@\")FU7$Fg^l$\"1M
G@(eXKN(FU7$Fa_l$\"1#oS%*\\4RP'FU7$F[`l$\"1[$oL5$Q%R&FU7$F``l$\"1=:xN(
\\8E%FU7$Fe`l$\"1olw4?VsJFU7$Fj`l$\"1lQS`y`K>FU7$Fdal$\"1`HHot\"\\O(Ff
w7$Fhbl$!1^NO(HY!\\_Ffw7$F\\dl$!1+y`p)=-v\"FU7$Ffdl$!1>7Dma</IFU7$F[el
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!1++v[\"[x$>F1$!1uX&fB3v]\"F17$F^q$!1dI'y&*e*e9F17$Fhq$!1T*pB:i-K\"F17
$F\\s$!1y))3`rce6F17$F`t$!1J%)*>&)[`Q*FU7$Fjt$!1uh6xgx]oFU7$F_u$!1(*Qa
/PF(=%FU7$Fdu$!1&>pC#p%4$HFU7$Fiu$!1^k*oP-vl\"FU7$F^v$!1wap5`LK8Ffw7$F
cv$\"1nR)z&yw(Q\"FU7$Fhv$\"1kn92OliEFU7$F]w$\"1.-/!)ff:RFU7$Fhw$\"1*fQ
He2sp'FU7$Fbx$\"1T)[JDvp$*)FU7$Fgx$\"1W6@!f^s5\"F17$F\\y$\"1x<D\"*ois7
F17$Fay$\"1%H%)=Xs)*R\"F17$Ffy$\"1G`liqaT9F17$F[z$\"1ARPE<As9F17$F`z$
\"1M5'e!o6%[\"F17$Fez$\"1l\"QD??F\\\"F17$Fjz$\"1!z?rc8!)\\\"F17$F_[l$
\"1$G&e5c)**\\\"F17$Fe[l$\"1iQ#['G^)\\\"F17$Fj[l$\"11c-CbX$\\\"F17$F_
\\l$\"1o^-D_#[[\"F17$Fd\\l$\"1&)p1F=ks9F17$Fi\\l$\"1YVUu//V9F17$F^]l$
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